Народився 6 серпня 1913 р. Медичну освіту отримав у Познанському медичному інституті. Обрав спеціалізацію “хірургія”. Практику проходив у лікарні в Тютьковичах. Напередодні Другої світової війни 26-річний лікар Борис Квашенко починає працювати в Рівному в пологовому будинку на вулиці Бандурського (нині Драгоманова, 9). У 1939 році Квашенка мобілізували до польського війська, як лікаря, і направили спочатку в Люблін, а згодом у військовий шпиталь до Луцька. У повоєнному 1946 році Квашенко організував у Рівному пологовий будинок на 60 ліжок, де він був головним лікарем і ординатором одночасно. Борис Костянтинович 36 років працював головним акушером-гінекологом Рівненської області, залишаючись безпартійним, що на той час було рідкістю. Рівненський лікар-практик збагачував науку своїми досягненнями і відкриттями в галузі гінекології та акушерства. У 1968 році він став першим доктором медичних наук на Рівненщині. Він проводив унікальні операції, рятуючи жінок, повертаючи їм повноцінне життя. Ним опубліковані понад 60 наукових робіт, три монографії, він брав участь у різноманітних наукових конференціях і симпозіумах. Ім’я Бориса Квашенка було відоме не лише в Україні, але й за кордоном. Помер 5 травня 2008 року.